ریاضیات

چرا کره‌ی Sn یک منیفلد هموار است؟ کره‌ی n بعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم: Sn = { x = (x1, ..., xn+1) in Rn+1 : ||x|| = 1 } دو قطب را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: N = (0, ..., 0, 1) S = (0, ..., 0, -1) حالا دو مجموعه‌ی باز زیر را در نظر می‌گیریم: UN = Sn {N} US = Sn {S} این دو مجموعه، کل کره را پوشش می‌دهند: Sn = UN ∪ US روی UN تصویرسازی استریوگرافیک را تعریف می‌کنیم: φN(x) = ( x1/(1 - xn+1), ..., xn/(1...

چرا کره‌ی Sn یک فضای خوب‌رفتار است؟ کره‌ی n بعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم: Sn = { x in Rn+1 : ||x|| = 1 } روی Rn+1 فاصله‌ی اقلیدسی تعریف شده است: d(x,y) = ||x - y|| اگر این فاصله را به Sn محدود کنیم، یک متریک روی کره به دست می‌آید. پس Sn یک فضای متریک است. هر فضای متریک، هاسدورف و منظم است. بنابراین Sn نیز هاسدورف و منظم است. از طرف دیگر، Sn در Rn+1 بسته و کراندار است. پس طبق قضیه‌ی هاینه-بورل، فشرده است. بنابراین نتیجه می‌گیریم ک...