ریاضیات

مثال: شکل 8 یکی از مشهورترین کاربردهای قضیه ون‌کامپن، محاسبهٔ گروه بنیادیِ فضای موسوم به شکل 8 است. این فضا از اجتماع دو دایره تشکیل می‌شود که فقط در یک نقطه به هم می‌رسند. اگر این دو دایره را با A و B نشان دهیم، آنگاه داریم: X = A ∪ B, A ∩ B = {x0} چون اشتراک A ∩ B فقط یک نقطه است، این فضا همبند ساده است؛ پس: π1(A ∩ B, x0) ≅ {1} بنابراین، طبق قضیه ون‌کامپن داریم: π1(X,x0) ≅ π1(A,x0) * π1(B,x0) از سوی دیگر، هر یک از فضاهای A و B همریخت با دایره S1 هستند؛ ازاین‌رو: π...

۱) تحلیل هندسی فضا از نظر هندسی، فضای شکل 8 از دو دایره تشکیل شده است که فقط در یک نقطه به یکدیگر متصل‌اند. این نقطهٔ مشترک، همان نقطهٔ پایه x0 است که هر دو حلقه از آن عبور می‌کنند. بنابراین فضا دارای دو مسیر بستهٔ اصلی است: یکی متناظر با دایرهٔ اول و دیگری متناظر با دایرهٔ دوم. هر بار که در این فضا یک حلقه رسم می‌کنیم، این حلقه می‌تواند یک بار یا چند بار به دور دایرهٔ اول بچرخد، یا به دور دایرهٔ دوم، یا به‌صورت متناوب از هر دو دایره عبور کند. در نتیجه، ساختار کلی فضا نشان می‌دهد که دو نو...

چرا کره‌ی Sn یک فضای خوب‌رفتار است؟ کره‌ی n بعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم: Sn = { x in Rn+1 : ||x|| = 1 } روی Rn+1 فاصله‌ی اقلیدسی تعریف شده است: d(x,y) = ||x - y|| اگر این فاصله را به Sn محدود کنیم، یک متریک روی کره به دست می‌آید. پس Sn یک فضای متریک است. هر فضای متریک، هاسدورف و منظم است. بنابراین Sn نیز هاسدورف و منظم است. از طرف دیگر، Sn در Rn+1 بسته و کراندار است. پس طبق قضیه‌ی هاینه-بورل، فشرده است. بنابراین نتیجه می‌گیریم ک...

چرا هر نقطه روی کره‌ی Sn دارای یک همسایگی هم‌ارز با فضای اقلیدسی Rn است؟ برای اثبات این موضوع، از نگاشت‌های تصویرسازی استریوگرافیک که در یادداشت‌های فایل 17841836965134981221958374236088.jpg آمده است، استفاده می‌کنیم: ۱. هر نقطه p روی کره را در نظر بگیرید. اگر p قطب شمال نباشد، در مجموعه‌ی باز UN = Sn {N} قرار دارد. ۲. نگاشت φN یک تناظر یک‌به‌یک، پیوسته و با معکوس پیوسته (هم‌ریختی) بین این همسایگی و کل فضای Rn برقرار می‌کند. ۳. اگر نقطه p همان قطب شمال...