ریاضیات

چرا کره‌ی Sn یک منیفلد هموار است؟ کره‌ی n بعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم: Sn = { x = (x1, ..., xn+1) in Rn+1 : ||x|| = 1 } دو قطب را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: N = (0, ..., 0, 1) S = (0, ..., 0, -1) حالا دو مجموعه‌ی باز زیر را در نظر می‌گیریم: UN = Sn {N} US = Sn {S} این دو مجموعه، کل کره را پوشش می‌دهند: Sn = UN ∪ US روی UN تصویرسازی استریوگرافیک را تعریف می‌کنیم: φN(x) = ( x1/(1 - xn+1), ..., xn/(1...

از اینکه کره‌ی Sn یک منیفلد هموار است، چه نتایجی به دست می‌آید؟ B L O G F A . C O M ...

برای تعریف ساختار هموار روی کره‌ی Sn از تصویرسازی استریوگرافیک استفاده می‌کنیم. مطابق شکلِ بالای تصویر 17841836965134981221958374236088.jpg، یک نقطه از کره از طریق خطی که از قطب عبور می‌کند روی صفحه‌ای مانند Q تصویر می‌شود. اگر N و Ñ دو قطب مخالف کره باشند، دو مجموعه‌ی باز زیر را در نظر می‌گیریم: U1 = Sn {N} U2 = Sn {Ñ} هر یک از این دو مجموعه با Rn هم‌ریخت و هموار است، بنابراین: U1 ≅ Rn U2 ≅ Rn برای نقطه‌ای به صورت T = (x1,...