کره ی یک منیفلد هموار n-بعدی است.

برای تعریف ساختار هموار روی کره‌ی Sⁿ از تصویرسازی استریوگرافیک استفاده می‌کنیم.

مطابق شکلِ بالای تصویر 17841836965134981221958374236088.jpg، یک نقطه از کره از طریق خطی که از قطب عبور می‌کند

روی صفحه‌ای مانند Q تصویر می‌شود.

اگر N و Ñ دو قطب مخالف کره باشند، دو مجموعه‌ی باز زیر را در نظر می‌گیریم:

U₁ = Sⁿ {N}

U₂ = Sⁿ {Ñ}

هر یک از این دو مجموعه با Rⁿ هم‌ریخت و هموار است، بنابراین:

U₁ ≅ Rⁿ

U₂ ≅ Rⁿ

برای نقطه‌ای به صورت

T = (x₁, ..., x_n+1) ∈ Sⁿ

نگاشت استریوگرافیک در یادداشت به شکل زیر نوشته شده است:

p(T) = (

x₁/(1 - x_n+1),

...,

x_n/(1 - x_n+1)

)

از آنجا که

Sⁿ = U₁ ∪ U₂

و تبدیلات مختصات روی اشتراک

U₁ ∩ U₂ = Sⁿ {N, Ñ}

هموار هستند، این دو چارت یک اطلس هموار برای Sⁿ می‌سازند.

در نتیجه، کره‌ی Sⁿ یک منیفلد هموار n-بعدی است.

B L O G F A . C O M